Bollati Boringhieri: Programma di mat. fisica elettronica

Ogni disciplina scientifica si definisce pienamente nel momento in cui viene delimitata da una teoria in grado di evidenziarne i limiti e le potenzialità. Per l'informatica ciò avvenne negli anni trenta del XX secolo, in un effervescente panorama culturale e scientifico che affrontava i fondamenti della matematica, della fisica e della biologia, ben prima dell'avvento del calcolatore elettronico. Cosa significa «calcolare»? Cos'è un algoritmo? Cosa possiamo e cosa non possiamo calcolare? Ci sono dei limiti? Esiste un calcolatore universale? Cos'è un programma? Il programma che ho comperato funzionerà sempre o potrebbe entrare in loop su certi dati? Cos'è un linguaggio? Come si genera? Come si riconosce? Tra le cose che possiamo calcolare, quanti passi di calcolo dovremo ragionevolmente attendere per avere il risultato? Si può fare di meglio di quell'algoritmo per risolvere quel problema? Tutte queste domande hanno condotto alla teoria della calcolabilità effettiva, alla teoria dei linguaggi formali, e più tardi alla teoria della complessità computazionale, che include uno dei più importanti problemi ancora aperti per la scienza contemporanea. Questo volume illustra come sono state affrontate tali questioni. Nasce dall'esperienza ventennale degli autori nell'insegnamento del corso di Fondamenti dell'informatica, dapprima assieme, presso l'Università di Verona, poi separatamente nelle sedi di Verona e di Udine. Nato come dispensa già nel 1999, il volume è via via maturato negli anni, includendo note storiche, esempi e un gran numero di esercizi, molti dei quali assegnati come prova scritta d'esame.

Con il presente volume si completa il ciclo di lezioni di Edoardo Sernesi, una compiuta rassegna dei principali temi geometrici tradizionalmente svolti nel biennio propedeutico del corso di laurea in Matematica, la cui prima parte, Geometria 1, ha già riscosso ampio favore, da parte di professori e studenti, per la chiara e organica presentazione della materia. Un taglio didattico, testimoniato dalla presenza di numerosi esercizi (in buona parte svolti) ed esempi, caratterizza anche questa Geometria 2. Mentre nel primo volume il tema dominante è l'algebra lineare, in questo l'accento è posto sull'aspetto topologico-differenziale della geometria nelle sue varie forme. Una prima parte tratta della topologia generale, argomento troppo spesso sacrificato nei corsi istituzionali, alla quale per il suo valore formativo sono stati dedicati tre interi capitoli. Segue l'illustrazione della teoria del gruppo fondamentale e dei rivestimenti, primo approccio alla topologia algebrica (un tema che frequentemente trova posto nei corsi avanzati di geometria). Il resto del volume si occupa dei fondamenti della topologia differenziale: studio delle varietà differenziabili e delle loro principali proprietà, geometria differenziale classica di curve e superfici, teoria dell'integrazione sulle varietà differenziabili (trattata più spesso nei testi di analisi matematica, ma con un'impostazione inadatta alle applicazioni geometriche).

La nozione di rappresentazione esprime una categoria generale a cui appartengono numeri, stringhe, alberi, grafi, e più in generale, tutte le strutture simboliche con cui si rappresentano i dati. I linguaggi, in senso lato, sono formalismi entro cui si rappresentano oggetti, concetti, proprietà e relazioni. I linguaggi formali, definiti in termini insiemistici, sono quelli entro cui si definiscono i processi di calcolo universali, in grado di esprimere tutti i tipi di calcoli realizzabili. In questo libro, l'impostazione degli argomenti, la loro presentazione, e le prospettive di analisi dei vari argomenti, sono per molti aspetti frutto di elaborazione originale, maturata nel corso della didattica e della ricerca svolta negli ultimi 15 anni presso l'Università di Verona.

La meccanica dei corpi continui deformabili è un settore ampio della fisica matematica che suggerisce problemi teorici non banali, sia per la loro natura concettuale sia per le difficoltà matematiche che presentano, e fornisce strumenti utili alla progettazione tecnologica. Questo libro introduce il lettore ai temi essenziali della meccanica dei corpi deformabili, con particolare riferimento ai solidi. Si affrontano argomenti di fondamento per la maggior parte classici ma spesso ripensati e presentati da un punto di vista contemporaneo, in modo da preparare il lettore che voglia proseguire il percorso di apprendimento ad affrontare in passi ulteriori le problematiche che emergono nella descrizione della meccanica dei materiali complessi (tra cui troviamo anche quelli biologici, per esempio), quello che è il vasto territorio di confine della ricerca attuale in meccanica dei continui. Numerosi esercizi proposti e sviluppati completano il volume.

Questo volume offre una chiara ed esauriente trattazione degli spazi vettoriali. L'esposizione è condotta in modo da accompagnare lo studente nella graduale acquisizione della materia: gli sviluppi più impegnativi vengono ogni volta introdotti solo quando la maturità del lettore, rafforzata dallo studio già compiuto, è pronta ad assimilarli senza difficoltà. Lo scopo che si prefigge l'autore è soprattutto quello di fornire una corretta sistemazione dei concetti, ma sono tenute in evidenza anche le necessità del computo. Una parte notevole è riservata agli esercizi, sia di carattere applicativo sia di carattere teorico. La scelta degli argomenti, la ricca esemplificazione, la qualità e la varietà degli esercizi rendono il testo adatto tanto al corso di algebra per studenti di matematica quanto al corso di geometria per studenti di fisica: gli ultimi capitoli sono particolarmente utili per lo studente che si avvia a proseguire gli studi di matematica. Completano il volume l'inserimento in appendice di argomenti introduttivi all'analisi funzionale e un primo capitolo di collegamento con la geometria delle coordinate. In questa nuova edizione molte parti del libro sono state organizzate in maniera più funzionale e parzialmente riscritte, inoltre sono stati aggiunti nuovi esercizi al termine di ciascun capitolo.

Per le esigenze del calcolo digitale i modelli matematici devono essere approssimati con «procedure puramente aritmetiche» grazie a «metodi iterativi o per passi successivi». Con queste parole, intorno al 1950, Herman Goldstine e John von Neumann segnalavano l'importanza degli algoritmi iterativi nel calcolo scientifico su grande scala. Essi osservavano pure che, a causa dell'elevata mole dei calcoli, i metodi computazionali sono condizionati da ciò che è effettivamente realizzabile nel tempo e nello spazio di un processo automatico. Da qui nasceva un nuovo orientamento di ricerca basato sull'analisi della complessità dei problemi numerici. Oggi iterazione e complessità sono diventati una chiave per rispondere a due quesiti fondamentali: che cosa, in generale, può essere automatizzato? E come si possono risolvere i più diversi problemi della matematica applicata, ad esempio quelli posti dalla fluidodinamica e dall'elaborazione di immagini, dall'apprendimento automatico e dai motori di ricerca su rete? Questo libro si propone di attraversare uno dei settori più ardui e intricati della scienza del calcolo in una prospettiva originale: si combinano sistematicamente complessità e iterazione e si esplorano i percorsi che legano, per diverse teorie, le motivazioni originarie ai risultati più recenti. A realizzare la fusione tra analisi numerica e teoria della complessità, già prevista nei primi anni settanta, servono ora, soprattutto, le trasformate veloci e le matrici sparse o con speciale struttura che provengono da modelli matematici o che vengono inserite artificialmente nel calcolo. Da queste matrici dipende infine l'efficienza degli algoritmi iterativi per calcolare il minimo di funzioni e per risolvere sistemi di equazioni lineari e non lineari di grandi dimensioni.

Il testo, di sicura adozione universitaria, è destinato in primo luogo agli studenti di matematica della facoltà di Scienze – ma può essere usato con profitto anche da allievi di altre discipline scientifiche, interessati a chiedere alla matematica qualcosa di più di pure tecniche di calcolo – e a quegli insegnanti che desiderano rinnovare le basi della loro cultura matematica. Il volume trae origine dalle lezioni che l'autore ha impartito nei suoi corsi universitari e si distingue da altri manuali del genere sia per la singolare efficacia didattica, sia per il fatto di fornire, oltre agli strumenti di calcolo, una sistemazione rigorosa dei concetti e delle tecniche. La materia è quella che costituisce il programma di analisi del secondo anno della facoltà di Scienze, ma giunge a includere anche, a fini di completezza, argomenti di solito svolti solo nel secondo biennio di matematica. I numerosi esempi ed esercizi proposti a corredo dell'esposizione hanno lo scopo, da un lato, di favorire la comprensione del testo e il pieno possesso delle tecniche presentate, e, dall'altro, di dare un'idea delle possibili applicazioni della teoria e di introdurre l'allievo a ulteriori campi di studio.

"Casa", "ambiente", "biosfera": i sentimenti che queste parole evocano sono di varia natura e vanno dai ricordi familiari alla dea Gaia di Lovelock. Il concetto di ambiente è nato con riferimento all'uomo ed è stato studiato nell'unico scenario disponibile, cioè il pianeta Terra. Questa è la visione geocentrica e antropocentrica. La fisica geocentrica è stata abbandonata dal tempo di Galileo e Newton, ma la concezione antropocentrica dell'ecofisica è ancora dominante, e il superamento di questa limitazione non è semplice. È possibile conferire all'ecofisica la coerenza e i contenuti di una disciplina scientifica? È quanto cercano di fare gli autori di questo libro, partendo dallo studio della complessità e delle proprietà di analogia che accomunano i sistemi complessi inorganici - le stelle - e i sistemi complessi organici gli animali. Perseguendo questa linea di ricerca si capisce che il Sole e la Terra non sono unici e che nemmeno l'uomo è unico. L'ultima parte del libro si concentra in particolare sulla collettività umana e sulla sua dinamica economica. Gli economisti considerano la fisica dell'ecosistema un'esternalità, e cadono così in una visione monetocentrica che costituisce un passo indietro rispetto alla concezione generale della scienza moderna. L'ultimo capitolo affronta in maniera formale questo dilemma, e apre la strada a ricerche future.

A cento anni dalla sua nascita, la teoria einsteiniana della relatività è uno dei linguaggi correnti della fisica contemporanea e un caposaldo della visione scientifica del mondo. Il volume illustra la relatività speciale, dai suoi fondamenti fino alle applicazioni teoriche più importanti, e fornisce un'introduzione alla relatività generale. Nei primi capitoli sono esposte le basi della relatività speciale, per passare poi allo spazio-tempo di Minkowski, alla formulazione covariante della meccanica relativistica, alle applicazioni in fisica nucleare e subnucleare, e all'elettrodinamica, fino a concludere con la teoria classica dei campi e la relatività generale. Il libro è corredato da numerosi complementi e da centocinquanta problemi.

Questo testo è diretto a tutti quegli studenti di discipline scientifiche che vogliano familiarizzarsi con i concetti e i metodi dell'analisi, acquisendo una conoscenza e una manualità sufficiente per le esigenze dei loro corsi di laurea. Si è cercato dunque di porsi sempre nella situazione più semplice possibile, sacrificando la generalità a vantaggio dell'immediatezza e della semplicità, senza tuttavia mai rinunciare al rigore delle dimostrazioni, che è la caratteristica essenziale del discorso matematico a qualsiasi livello. Quando era possibile, è stata scelta tra le varie dimostrazioni quella che sembrava più aderente all'intuizione, anche se ne esistevano di più brevi ma meno espressive. Quando poi, in alcune rare occasioni, la complessità della dimostrazione avrebbe richiesto uno spazio troppo ampio, si è preferito tralasciarla del tutto per non appesantire il discorso oltre il dovuto. Nella scelta degli argomenti è stata seguita la tradizione dei corsi di analisi in una variabile; è stato aggiunto un capitolo dedicato a elementi di geometria analitica e un altro sulle equazioni differenziali, che usualmente si trova in corsi successivi. Il risultato è un volume forse un po' più ampio di quanto sia possibile contenere in un corso universitario. Non si è però voluto rinunciare a una certa completezza, lasciando all'insegnante di trascurare alcune parti (e magari ampliarne altre) secondo le necessità del suo corso.

Questa nuova edizione di Analisi matematica 2 può essere utilizzata sia per intero, in un corso universitario annuale o di due semestri, sia in parte, quando le esigenze didattiche suggeriscano un corso di un solo semestre, da affiancare ai due coperti dal primo volume. La divisione delle materie permette di trattare in maniera più elementare ma non per questo affrettata i temi classici dell'Analisi matematica. Nel primo semestre vengono affrontati il calcolo differenziale e integrale in più variabili, le serie di funzioni, elementi di geometria differenziale delle curve e delle superfici, completando in questo modo le materie tradizionali di un corso di Analisi. Nel secondo semestre questi temi vengono approfonditi, mediante l'introduzione dell'integrale e della misura di Lebesgue, lo studio dettagliato delle equazioni differenziali, l'esposizione dei primi elementi di analisi funzionale.

Questo libro costituisce al tempo stesso una presentazione completa della termodinamica e una introduzione scientifica all'opera di Prigogine. Gli autori mostrano come la termodinamica del non equilibrio sia un prolungamento naturale della termodinamica dell'equilibrio. Essa costituisce quindi la scienza dei processi irreversibili di cui le strutture dissipate sono le testimonianze più clamorose. I numerosi esempi ed esercizi, nonché i programmi informatici e i riferimenti ai siti Internet fanno di questo libro un utile strumento di lavoro.