Libri di Sergej P. Novikov

Il libro propone un’ampia introduzione alla teoria delle varietà differenziabili e ai principali strumenti della topologia e della geometria globale. Dopo aver presentato numerosi esempi significativi di varietà, incluse varietà complesse, spazi omogenei e spazi a curvatura costante, il testo sviluppa le nozioni preliminari necessarie allo studio delle applicazioni differenziabili, con particolare attenzione a risultati fondamentali come il teorema di Sard e alle tecniche di costruzione globale. Vengono poi introdotte e approfondite nozioni topologiche centrali quali il grado di un’applicazione, l’indice di intersezione, l’orientabilità e il gruppo fondamentale, insieme alla teoria dei rivestimenti. La trattazione si estende ai gruppi di omotopia e ai fibrati differenziabili, mettendo in luce i legami tra struttura topologica e geometria differenziale. Le parti finali collegano questi strumenti allo studio dei sistemi dinamici, dei fogliettamenti e dei problemi variazionali in più dimensioni, con applicazioni a contesti di grande rilievo come la relatività generale, le equazioni di Yang–Mills e le sottovarietà minime.

Il volume sviluppa in modo approfondito il legame tra topologia algebrica, geometria differenziale e analisi globale, ponendo al centro le teorie di omologia e coomologia come strumenti fondamentali di calcolo e classificazione. Dopo aver introdotto i principali complessi algebrici, simpliciali e cellulari, il testo presenta le diverse teorie omologiche e coomologiche, mettendone in evidenza l’invarianza omotopica, le successioni esatte e le principali operazioni strutturali, fino a risultati di grande rilievo come la dualità di Poincaré e le applicazioni ai gruppi di Lie, ai fibrati e alle varietà complesse. Una parte sostanziale è dedicata alla teoria di Morse, che collega i punti critici delle funzioni differenziabili alla struttura topologica delle varietà. Attraverso le disuguaglianze di Morse e lo studio dei funzionali, il libro mostra come metodi variazionali e topologici interagiscano nello studio delle geodetiche, dei problemi periodici e dei sistemi meccanici. L’ultima parte affronta la teoria dei cobordismi e delle strutture differenziabili, culminando in temi profondi come i numeri caratteristici e la classificazione delle varietà, offrendo una visione unitaria e avanzata della topologia differenziale moderna.

Il volume introduce in modo sistematico la geometria differenziale, ponendo le basi concettuali per lo studio delle strutture geometriche nello spazio. Dopo una prima parte dedicata alle nozioni fondamentali della geometria in un dominio dello spazio, il testo sviluppa la teoria delle superfici, analizzandone le proprietà locali e globali attraverso strumenti analitici rigorosi. La trattazione prosegue con l’introduzione dei tensori e della loro teoria algebrica, seguita dal calcolo differenziale tensoriale, che fornisce il linguaggio naturale per descrivere invarianti e relazioni geometriche. Le parti finali collegano questi strumenti al calcolo delle variazioni, prima nei suoi elementi fondamentali e poi nei problemi in più dimensioni, mostrando il ruolo dei campi e dei loro invarianti geometrici. Nel complesso, il libro offre una visione coerente e unitaria della geometria differenziale e dei suoi principali metodi analitici.